LICZBY ZESPOLONE – czy urojenie idzie w parze z rzeczywistością?
Przez całą podstawówkę oraz szkołę średnią wmawia się nam, że największym zbiorem liczbowym jaki istnieje, są liczby rzeczywiste. Ale to nie prawda! Gdyby tak było, to dziś nie korzystalibyśmy z wielu dobrodziejstw i udogodnień życiowych.
Jeśli wolisz oglądać, to zapraszam Cię do obejrzenia poniższego materiału, jeśli zaś wolisz czytać – tekst znajdziesz pod filmem.
Przez całą podstawówkę oraz szkołę średnią wmawia się nam, że największym zbiorem liczbowym jaki istnieje, są liczby rzeczywiste, czyli np liczby naturalne, ujemne, dodatnie, całkowite, ułamki, pierwiastki, liczba π itd.
Jednym słowem są to te wszystkie liczby, których używamy, gdy wykonujemy jakiekolwiek obliczenia i zadania na poziomie podstawówki czy szkoły średniej.
I tak przeświadczeni o tym, że poznaliśmy wszystkie liczby jakimi dysponuje współczesny cywilizowany świat, kroczymy przez życie, w którym korzystamy z licznych dobrodziejstw i udogodnień, w ogóle nieświadomi tego, że prawdopodobnie tych dobrodziejstw i udogodnień by nie było, gdyby faktycznie istniały tylko liczby rzeczywiste.
Jakie więc liczby są „ponad” wszystkimi liczbami, które poznaliśmy w szkole? To liczby zespolone.
Jak wyglądają, skąd się wzięły i w czym nam pomagają?
Aby lepiej zrozumieć, gdzie znajdują się liczby zespolone, przypomnijmy sobie pokrótce podstawowy podział liczb, który prawdopodobnie był Ci przedstawiany gdzieś w podstawówce.
Najprostszym zbiorem liczbowym są liczby naturalne – czyli takie, za pomocą których zliczamy jakieś przedmioty.
Są to liczby 1, 2, 3, 4,…, 13, 14, …., 123, 124, …
Czy 0 zalicza się do liczb naturalnych? A to już kwestia umowna. Jeśli umówimy się, że tak – no to tak. A jeśli nie – to nie!
Większym zbiorem liczbowym są liczby całkowite. Są to wszystkie liczby naturalne oraz liczby do nich przeciwne wraz z zerem.
Kolejnym zbiorem liczbowym są, zawierającym w sobie liczby całkowite, a co za tym idzie również naturalne – są liczby wymierne, czyli takie, które da się zapisać ułamkiem zwykłym.
Liczby których ułamkiem zwykłym zapisać się nie da to liczby niewymierne. Są to np. liczba , wszystkie pierwiastki, których nie da się wyciągnąć czy ułamki dziesiętne nieskończone nieokresowe.
Gdy „ożenimy” ze sobą wszystkie liczby wymierne i niewymierne to otrzymamy zbiór liczb rzeczywistych.
A gdzie znajdują się liczby zespolone? Ano właśnie „ponad” liczbami rzeczywistymi. Liczby zespolone zawierają w sobie wszystkie liczby rzeczywiste.
Jak wyglądają takie liczby zespolone?
Liczba zespolona składa się z 2 części: części rzeczywistej i części urojonej, np. 5 + 2i.
Widzimy, że dziwna jest to liczba, a już na pewno ta jej druga część – czyli część urojona. Co to za litera i, która tam występuje?
Żeby to dobrze zrozumieć zacznijmy od początku, czyli powiedzmy skąd się wzięły liczby zespolone.
Ile to jest pierwiastek z 9 ? No… 3.
A ile to jest pierwiastek z 2? No nie da się tak łatwo wyciągnąć, ale gdy użyjemy kalkulatora, to odpowiemy, że w przybliżeniu to jest 1,4
A ile to jest np pierwiastek z -1 ? No ale jak? Przecież wyraźnie w szkole Pani mówiła, że nie ma pierwiastków (kwadratowych) z liczb ujemnych.
No właśnie. I podobnie myślano przez długie lata.
W XVI wieku włoski matematyk Geronimo Cardano wprowadził do matematyki coś co nazwał liczbami fikcyjnymi (nazwę obecną, czyli liczby zespolone, wprowadził do obiegu ok. 100 lat później Kartezjusz) a dopiero tak na poważnie „na tapetę” wzięli je w XVIII wieku Euler i Gauss. Ten ostatni zaproponował nazwę – liczby zespolone.
Samo wprowadzenie liczb zespolonych było trochę takim zabiegiem „na siłę”. Uproszczę to nieco, robiąc skrót myślowy.
To tak jakby uczeń podstawówki powiedział: „Jak to nie ma pierwiastka z -1 ! Ja uważam, że jest i nadam mu nazwę i. A ponieważ to rozwiązanie tak sobie troszkę „ubzdurałem”, to nazwę go urojeniem.
I tak powstała jednostka urojona
a za nią liczba urojona, będąca mnożeniem liczby rzeczywistej przez i
co powoduje, że możemy wyciągać pierwiastki z innych liczb ujemnych, np.
A ta liczba urojona stała się częścią liczby zespolonej, która (za sprawą Gaussa) ma postać a + bi, gdzie a oraz b są liczbami rzeczywistymi.
Dlatego każda liczba zespolona może zostać zapisana jako suma liczby rzeczywistej i liczby urojonej.
Z czasem okazało się, że te trochę „na siłe” wymyślone liczby całkiem zgrabnie działają w różnych obliczeniach i pomagają rozwiązywać różne trudności matematyczne, m.in. są bardzo przydatne w rozwiązywaniu równań różniczkowych.
Na początku wspomniałem, że dzięki liczbom zespolonym wszyscy korzystamy z licznych dobrodziejstw i udogodnień.
I rzeczywiście, choć liczby te wydają się dziwnym tworem szalonego matematyka, mają ogromne zastosowania w wielu dziedzinach. Bez nich nie byłoby mowy o nowoczesnej elektrotechnice, automatyce i robotyce, o mechanice kwantowej czy optyce a nawet telekomunikacji. Z powodzeniem liczby zespolone stosuje się również w innych dziedzinach nauki – chemii, fizyce czy medycynie.
Chyba ciężko wszystkie zastosowania liczb zespolonych wymienić w szczegółach, dlatego ograniczę się do kilku konkretów.
Powiedzieliśmy, że liczby zespolone mają szerokie zastosowanie np. w elektrotechnice. Doskonale nadają się do opisu obwodów elektrycznych prądu przemiennego. Za ich pomocą wyraża się moc czynną i bierną prądu przemiennego. Zastosowanie liczb zespolonych pozwala na, w miarę proste obliczanie prądów zwarciowych, dzięki czemu można ustawiać zabezpieczenia linii elektroenergetycznych, tak aby prąd do naszych domostw płynął w miarę bez zakłóceń i nieprzerwanie.
Innymi słowy, za każdym razem kiedy podłączasz jakieś urządzenie do kontaktu pamiętaj, że w jego poprawnym zasilaniu maczają palce liczby zespolone.
W jednym z poprzednich odcinków mówiłem o fraktalach – o ich powszechności i znaczeniu w świecie, ale też o zastosowaniu ich do chociażby kompresji obrazu, tworzenia grafiki komputerowej i efektów filmowych. Bez znajomości liczb zespolonych raczej nie było by możliwe tworzenie takich fraktalnych grafik poprzez komputery.
Więc, gdy oglądasz ciekawą kreskówkę opartą na grafice komputerowej, widzisz jakieś fantastyczne światy w filmach czy nawet niektóre efekty specjalne, wiedz, że z dużym prawdopodobieństwem maczały w tym palce liczby zespolone.
Wszędzie tam, gdzie występują drgania harmoniczne, liczby zespolone są jak znalazł.
Przy ich pomocy opisuje się doskonale fale mające kształt sinusoidy jak np fale elektromagnetyczne, co ma niebagatelne znaczenie np. w telekomunikacji.
Więc za każdym razem, gdy używasz telefonu, korzystasz z Internetu, albo oglądasz telewizję czy słuchasz radia – pamiętaj, że przyczyniają się do tego liczby zespolone.
Z tej opowieści o liczbach zespolonych nasuwa mi się jedna puenta – o dziwo niematematyczna!
W życiu miewamy czasem pomysły, które w pierwszym przebłysku wydają nam się niemal genialne. Ale po jakimś czasie, gdy pomysły te zostaną przepuszczone przez filtry naszych przekonań, przyzwyczajeń, doświadczeń itd., zostają wyrzucone do kosza z napisem „a… to głupie jest”.
Przykład liczb zespolonych pokazuje, że może czasem warto jednak spróbować te „głupie” pomysły wcielić w życie – a nóż wyjdzie z nich jakiś dobry owoc.
Jarosław Bigos
Podobał Ci się ten materiał?Jeśli tak, to zarejestruj się aby otrzymywać powiadomienia o nowych artykułach i innych materiałach na moim blogu. Nie martw się, nie rozsyłam spamu i na pewno nikomu nie ujawnię Twojego adresu! |
