Wstęga Möbiusa
Jest takie matematyczne dziwactwo, o którym wiele osób słyszało, ale niewiele osób potrafi o nim powiedzieć więcej niż jedno zdanie. Tym dziwnym, ale w moim mniemaniu wartym poznania, matematycznym tworem jest wstęga Möbiusa. I to właśnie jej poświęcony będzie dzisiejszy odcinek.
.
Jeśli wolisz oglądać, to zapraszam Cię do obejrzenia poniższego materiału, jeśli zaś wolisz czytać – tekst znajdziesz pod filmem.
Jesteśmy przyzwyczajeni do tego, że każda zwyczajna powierzchnia, blat stołu czy kartka papieru, ma dwie strony – wierzch i spód (górę i dół). No bo jakże mogło by być inaczej…
Jeśli chcielibyśmy np. obrysować kartkę dookoła, musimy przejść przez jej brzeg i ją przekręcić.
Istnieją jednak w matematyce niezwykłe powierzchnie, z którymi nie da się postąpić w ten sposób, ponieważ nie mają dwóch stron. I choć powierzchnie mające tylko jedną stronę wydają się nieprawdopodobne, to jednak rzeczywiście takie istnieją.
Jedną z nich jest odkryta w połowie XIX wieku wstęga Möbiusa.
Nazwa wstęgi pochodzi właśnie od jej odkrywcy, niemieckiego matematyka i astronoma, Augusta Möbiusa.
Taką jednostronną wstęgę Möbiusa można bez problemu zrobić samodzielnie. Wystarczy przygotować długi pasek papieru i skleić jego krótsze brzegi, obracając jeden z końców o 180 stopni – otrzymamy wówczas powierzchnię, która posiada tylko jeden brzeg i tylko jedną stronę.
Łatwo sprawdzić tą jednostronność. Wystarczy wziąć do ręki coś do pisania i zaznaczyć punkt w połowie szerokości wstęgi, a następnie rysować linię przez jej środek, bez odrywania ręki. Wkrótce przekonamy się, że obrysowaliśmy całą długość wstęgi bez odwracania jej na drugą stronę i znaleźliśmy się dokładnie w tym samym miejscu, z którego wystartowaliśmy, nie przekraczając przy tym żadnego brzegu, jak to ma miejsce przy obrysowywaniu zwykłej kartki papieru.
Podobnie, jeśli chcielibyśmy pokolorować tylko jedną stronę wstęgi – pokolorujemy ją całą – właśnie przez jej jednostronność.
.
Ciekawe wnioski otrzymamy również przy przecinaniu wstęgi.
Jeśli np. przetniemy powierzchnie dwustronne obojętnie w jakim miejscu – otrzymamy dwie oddzielne powierzchnie dwustronne.
Z wstęgą Möbiusa jest zupełnie inaczej.
Rozcięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż jej linii środkowej nie powoduje jej rozkładu na dwa rozłączne obiekty lecz powoduje otrzymanie dwukrotnie dłuższej, dwukrotnie skręconej obręczy, która nie jest już wstęgą Möbiusa, bo posiada 2 strony.
Natomiast rozcięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż w jednej trzeciej szerokości, powoduje otrzymanie jednej węższej wstęgi Möbiusa o długości równej wyjściowej wstędze oraz splecionej z nią dwukrotnie dłuższej, dwukrotnie skręconej dwustronnej obręczy.
A gdzie na co dzień możemy spotkać wstęgę Mobiusa?
- A chociażby w bardzo popularnym symbolu recyklingu,
- W matematycznym symbolu nieskończoności
- W logo marki renault
- W logo dysku google
- Dosyć często w kształt wstęgi Möbiusa zszywane są tzw kominy, które nosimy pod szyją zamiast szalika w chłodniejsze dni. Tak zszyty komin po prostu lepiej leży na szyi. Podobnie jest z opaskami na głowę.
- Wstęga Möbiusa bywa także popularnym motywem w sztuce. Jeśli będziesz kiedyś w Kazimierzu Dolnym, to na dziedzińcu szkoły im. Koszyca (w wakacje na jej terenie odbywa się znany festiwal filmowy Dwa Brzegi) również spotkasz rzeźbę przedstawiającą wstęgę Möbiusa.
.
A już tak zupełnie na koniec…
Mówiąc o wstędze Möbiusa warto wspomnieć, że należy ona do tzw. rozmaitości topologicznych.
Topologicznych czyli jakich?
Topologia to stosunkowo młoda gałęź geometrii, która bada własności powierzchni i kształtów zupełnie nie interesując się pomiarem długości czy kątów. W topologii wysoko cenione są takie własności, które nie zmieniają się, gdy dany kształt przekształca się w inny, nawet jeśli dany obiekt całkowicie deformujemy.
Przez deformowanie rozumiemy tutaj dowolne odkształcanie (zginanie, rozciąganie, skręcanie), ale bez rozrywania różnych części lub zlepiania różnych punktów. Taki proces deformacji najłatwiej wyobrazić sobie, przyjmując, że dany obiekt wykonano z gumy.
Topolog nie odróżnia kuli od misy. Kula to powierzchnia nie posiadająca żadnych dziur. Robiąc w niej wgłębienie możemy z łatwością zmienić jej kształt np. na misę. Podobnie dla topologa nie ma różnicy pomiędzy filiżanką a obwarzankiem. Obwarzanek jest rodzajem powierzchni z jedną dziurą w środku, podobnie jak filiżanka, w której dziura ma postać rączki.
I chodź mamy tu do czynienia z zupełnie innymi kształtami, z punktu widzenia topologa jest to jedno i to samo.
