Dziś, bardziej niż kiedykolwiek, nasz świat opiera się na liczbach. Wśród nich jest JEDNA SZCZEGÓLNA, która zafascynowała więcej błyskotliwych umysłów bardziej niż wszystkie inne liczby razem wzięte. Lista jej nazw jest długa i świadczy o wyraźnym do niej szacunku: złota liczba, boska liczba, złoty podział…

A pojawia się niemal wszędzie w rzeczywistości, która nas otacza. Przyjrzyjmy się jej więc nieco bliżej.

Zapraszam Cię w tą niezwykłą matematyczną podróż.

 

Jeśli wolisz oglądać, to zapraszam Cię do obejrzenia poniższego materiału, jeśli zaś wolisz czytać – tekst znajdziesz pod filmem.

 

Ponoć o gustach się nie dyskutuje. Ale jedno jest pewne – każdy z nas jakiś tam gust ma. I bez względu na to, w czym pojedynczy ludzie upatrują indywidualne piękno czy brzydotę, to są na tym świecie takie rzeczy, które mają w sobie jakieś takie uniwersalne piękno, że podobają się praktycznie wszystkim.

Od czego to zatem zależy?

Wydaje się, że matematyka znalazła na to pewną odpowiedź. Odpowiedzią jest złota liczba albo inaczej złota proporcja lub boska proporcja.

A skąd taka zaszczytna nazwa?

Ano stąd, że taka proporcja jest szczególnie miła dla oka, estetyczna i atrakcyjna, a dzieła stworzone z jej wykorzystaniem często uznawane są za piękniejsze i bardziej harmonijne od innych. Dlatego często proporcja ta występuje w sztuce, reklamie, architekturze i przy projektowaniu różnych rzeczy codziennego użytku.

Ale o tym za chwilę.

No ale co takiego ta złota proporcja?

Otóż złota proporcja polega na podzieleniu dowolnego odcinka na dwie części tak, aby całość miała się tak do większej części, tak jak większa część do mniejszej.

Definicja ta znana jest już od starożytności bowiem znalazła się w jednej z najważniejszych ksiąg w dziejach ludzkości – Elementach Geometrii Euklidesa.

Wartość liczbowa tego podziału wynosi zawsze w przybliżeniu 1,618… i nazywana jest złotą liczbą Φ (fi).

Liczba Φ (fi) ma bardzo wiele ciekawych własności matematycznych. Przytoczmy tu dwie z nich:

1. Jeżeli podniesiemy ją do kwadratu, otrzymamy liczbę dokładnie… o jeden większą: Φ² = Φ + 1
2. Odwrotność liczby Φ jest z kolei liczbą o 1 mniejszą od samej:  1/ Φ = Φ – 1

 

Przy okazji opowiadania o złotej liczbie warto wspomnieć również o ciągu Fibonacciego, który to określił żyjący na przełomie XII i XIII wieku, włoski matematyk Leonardo Fibonacci. Ten ciąg liczbowy tworzymy zaczynając od dwóch jedynek, po czym każda następna liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich.

Ciąg Fibonacciego: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

 

Co ten ciąg ma wspólnego ze złotą liczbą?

Otóż dzieląc dowolną liczbę ciągu Fibonacciego przez liczbę ją poprzedzającą otrzymamy wynik oscylujący wokół 1,618.. czyli złotej liczby jako Φ – (fi).  Im wyższe wyrazy ciągu dzielimy przez siebie, tym dokładniejsze przybliżenie liczby Φ otrzymujemy.

Np.:

55 : 34 = 1,617…

89 : 55 = 1,618…

 

Bazując na złotej proporcji, ale także na ciągu Fibonacciego możemy utworzyć:

ZŁOTY PROSTOKĄT, czyli taki prostokąt, którego boki pozostają do siebie w złotej proporcji

Ze złotego prostokąta możemy tworzyć kolejne złote prostokąty dorysowując na dłuższym boku kwadrat

Podobną konstrukcję możemy wykonać z kwadratów o bokach odpowiadających liczbom Fibonacciego i taki złoty prostokąt możemy wpisać ZŁOTĄ SPIRALĘ, która jest graficzną interpretacją liczb ciągu Fibonacciego.

 

Możemy również skonstruować ZŁOTY KĄT czyli kąt środkowy oparty na mniejszym z dwóch łuków powstałych w wyniku złotego podziału okręgu. W przybliżeniu jego miara wynosi 137,5 stopnia.

 

Złotą proporcję idealnie dostrzec można na figurze matematycznej zwanej PENTAGRAMEM.

Po co to wszystko?

Ano dlatego, że te złote figury (podobnie zresztą jak sam złoty podział) pojawiają się często wokół nas: w anatomii, przyrodzie, kosmosie, anatomii ludzkiego ciała, architekturze, inżynierii, sztuce, muzyce, fizyce, matematyce, przedmiotach użytku codziennego – słowem wszędzie.

Ciąg Fibonnaciego i złoty podział jest wyjątkowo lubiany przez naturę.

Poczynając od olbrzymich galaktyk, które formują się wg złotej spirali, poprzez nieco mniejsze huragany kończąc na rogach wielu zwierząt czy muszlach.

   

 

 

A wiesz, że taki zwykły owad, zbliżając się do światła zatacza również złotą spiralę. Dziwne prawda?

Mało tego, nawet drapieżne ptaki utrzymują trajektorię lotu będącą złotą spiralą, bo jak się okazuje jest to jedyny sposób, który pozwala utrzymywać im głowy w niezmiennej pionowej pozycji, dzięki czemu zachowują pełną kontrolę nad celem polowania i jednocześnie maksymalizują prędkość lotu.

Niesamowite!

 

Wydaje się, że wzrost wielu roślin odbywa się wg zasad złotej proporcji.

Przykładowo u większości roślin o wysokich łodygach (np. w słoneczniku), liście rozwijają się po spirali i każdy kolejny liść obrócony jest w stosunku do kolejnego o kąt 137,5 stopnia czyli złoty kąt. Dlaczego? Tylko taki kąt gwarantuje, że każdy liść będzie miał dostęp do światła. Każdy inny kąt spowodował by, że jakieś liście będą przysłonięte przez inne.

Również gałęzie drzew wyrastają zgodnie z takim schematem jak liście na łodydze.

Fascynujące prawda? Ale to dopiero początek.

 

U wielu roślin, na poszczególnych poziomach ich wzrostu, liczba odgałęzień oraz liczba liści są liczbami Fibonacciego.

 

Pestki w słoneczniku tworzą spirale… wiele spiral. Co ciekawe liczba spiral prawo skrętnych oraz lewo skrętnych są zawsze liczbami Fibonacciego.

 

 

Według podobnych spiralnych zasad wyrastają szyszki, ananasy, brokuły, kalafiory czy kapusta.

W wielu kwiatkach liczba płatków jest jedną z liczb Fibonacciego, np. 1 płatek – lilia calla, 2 – wiloczmlecz, 3 –bez, 5 –jaskier, 8- ostróżka, 13 – nagietek, 21 – aster.

Różne gatunki stokrotek mają różne liczby płatków, ale zawsze są to liczby Fibonacciego (21, 34, 55, 89)

 

Nam ludziom również natura nie poskąpiła złotej proporcji w budowie ciała.

Na pewno widziałeś ten obrazek – to Człowiek Witruwiański Leonarda Da Vinci ukazujący idealne proporcje ludzkiego ciała bazujące na złotym podziale.

 

I rzeczywiście, w proporcjach ciała harmonijnie rozwiniętego człowieka, znajdziemy złotą proporcję. Co prawda, nie zawsze są one idealnie i dokładnie zachowane, ale są na pewno bardzo zbliżone.

Złotą liczbę otrzymasz dzieląc m.in.:

• wzrost człowieka przez odległość od stóp do pępka
• odległość od pępka do czubka głowy do odległości od ramion do czubka głowy
• odległość od ramion do czubka głowy do odległości od brody do czubka głowy
• wysokość twarzy do jej szerokości
• odległość od kolana do pępka do odległości od kolana do stopy
• odległość od koniuszków palców do łokcia przez odległość od nadgarstka do łokcia (fotki).

 

Ok. Wystarczy tej natury. Teraz przejdźmy do dzieł rąk ludzkich.

Mimo, że Fibonacci zauważył pewną prawidłowość dopiero w XIII w. to, tak jak wspominałem, o złotej proporcji wiedzieli już w starożytni Grecy.

W oparciu o nią powstał ateński Partenon.

Zasadę tę wykorzystali również Egipcjanie przy tworzeniu piramid. Wysokość ściany boczna piramidy podzielona przez połowę podstawy daje nam w przybliżeniu złotą liczbę.

W bardziej współczesnych budowlach złotą proporcję zaobserwujemy np. w Wieży Eifla czy Katedrze Notre Dame.

 

Złota proporcja znalazła również swoje zastosowane w świecie sztuki. Dzieła stworzone w oparciu właśnie o tę zasadę wydają się nam w odbiorze niezwykle atrakcyjne. Przykładami mogą być: Mona Lisa Leonarda Da Vinci, Ostatnia Wieczerza, Narodziny Wenus czy marmurowa rzeźba Wenus z Milo.

 

Współcześnie złoty podział stał się nieodzownym narzędziem grafików i projektantów. Jak się okazuje różne prace i projekty bazujące na złotej proporcji są częściej akceptowane przez klientów. Dlatego używa się go np. przy takich drobnych sprawach jak dowód osobisty, prawo jazdy, karty bankowe – wszystkie one są złotymi prostokątami.

Ale złoty podział wykorzystywany jest również przy grubszych sprawach, jak:

• projektowanie samochodów
• tworzeniu stron internetowych
• a także projektach logo różnych firm np Toyoty, Apple, National Geografic, Google, Pepsi

 

Złoty podział odnajdziemy także w muzyce.

Dla przykładu – zapis nutowy kanonu D-Dur Pachelbela skonstruowany jest według liczb Fibonacciego (chodzi o odległości pomiędzy poszczególnymi dźwiękami czyli tzw interwały).

Kanon ten znajduje odzwierciedlenie w wielu współczesnych utworach muzycznych (np. Green Day – Basket Case, U2 – With or Without You, Bob Marley – Woman No Cry, The Beatles – Let It Be, Tool – Lateralus i wielu innych).

Czemu tak? A temu, że utwory skomponowane w ten sposób łatwo wpadają w ucho przeciętnemu zjadaczowi chleba.

 

I tak już na koniec:

Platon uważał, że złota liczba może być kluczem pozwalającym na uporządkowanie chaotycznego wszechświata, zaś XIX-wieczny, niemiecki uczony, Adolf Zeising, twierdził, że złoty podział jest elementarnym prawem przyrody.

Czy w złotym podziale znajduje się więc coś na kształt matematycznego opis wszechświata?

Bynajmniej. Niestety, nie jest to takie proste.

Choć bez trudu w otaczającym nas świecie znajdziemy przykłady odnoszące się do złotej proporcji, to jeszcze więcej znajdziemy takich, które nie mają z nią nic wspólnego. Nie ma więc sensu na siłę doszukiwać się  ciągu Fibonacciego i złotego podziału w każdej spirali występującej w naturze. Fakty są takie, że złoty podział, chodź często we świecie i przyrodzie występuje, to w żaden sposób ich nie opisuje. Może jednak decydować i często decyduje o tym, że coś jest dla nas atrakcyjniejsze i milsze w odbiorze.

XVI-wieczny astronom, Johannes Kepler, stwierdził: “Geometria ma dwa wielkie skarby: jednym z nich jest twierdzenie Pitagorasa, a drugim podział odcinka w złoty sposób; pierwszy z nich możemy porównać do złota, a drugi do drogocennego klejnotu”.

Szkoda, że o pierwszym słyszał każdy, a o drugim w zasadzie w szkole się nie wspomina. Myślę że byłoby warto, ponieważ jest to jeden z tych przykładów, który pokazuje bardzo konkretne i realne oblicze matematyki, a nie tylko jej abstrakcyjność.

Jarosław Bigos

Podobał Ci się ten materiał? Jeśli tak, to zarejestruj się aby otrzymywać powiadomienia o nowych artykułach i innych materiałach na moim blogu. Nie martw się, nie rozsyłam spamu i na pewno nikomu nie ujawnię Twojego adresu! Twoje imię Email  Chcę zapisać się do newslettera, a co za tym idzie wyrażam zgodę, aby otrzymywać na mój e-mail informacje o nowych artykułach, materiałach i kursach na blogu BIGOS MATEMATYCZNY